"la bouteille de Klein fut imaginée en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein (1849 ; 1925). Comme le ruban de Möbius, cette surface ne possède qu’une seule face mais elle est de surcroît fermée et n’a pas d’intérieur."
La topologie se distingue d'abord de la géométrie euclidienne par la conception de l'équivalence entre deux objets. En géométrie euclidienne, deux objets sont équivalents si on peut transformer l’un en l’autre à l’aide d’isométries (rotations, translations, réflexions, etc.…) c'est-à-dire, des transformations qui conservent la valeur des angles, des longueurs, des aires, des volumes et autres. En topologie, deux objets sont équivalents dans un sens beaucoup plus large. Ils doivent avoir le même nombre de morceaux, de trous, d’intersections etc.… En topologie, il est permis de doubler, étirer, tordre etc.…des objets mais toujours sans les rompre, ni séparer ce qui est uni, ni coller ce qui est séparé. Par exemple, un triangle est topologiquement la même chose qu’un cercle, c'est-à-dire qu’on peut transformer l’un en l’autre sans rompre et sans coller. Mais un cercle n’est pas la même chose qu’un segment (on doit casser le cercle pour obtenir le segment).
C’est la raison pour laquelle on présente parfois la topologie comme une « géométrie de la feuille de caoutchouc » : c’est comme si l'on étudiait la géométrie avec une feuille de caoutchouc que l’on pourrait contracter, étirer, etc. Une plaisanterie traditionnelle entre topologues raconte d'ailleurs qu’un topologue est une personne qui ne sait pas distinguer une tasse d’un beignet.
